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使得它能展开成一个矩形

发布时间:2019-11-18 关注次数:

  流形球面(球的概况)为二维的流形,因为它可以或许由一群二维的图形来暗示。流形(Manifold),是局部具有欧几里得空间性质的空间。 欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球概况如许的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形能够通过把很多平曲的片折弯并粘连而成。流形正在数学顶用于描述几何形体,它们供给了研究可微性的天然的舞台。物理上,典范力学的相空间和构制广义的时空模子的四维伪黎曼流形都是流形的实例。他们也用于位形空间(configuration space)。环面(torus)就是双摆的位形空间。我们能够把几何形体的拓扑布局看做是完全“柔嫩”的,由于所有变形(同胚)会连结拓扑布局不变;而把解析簇看做是“硬”的,由于全体的布局都是固定的。例如一个1维多项式,若是你晓得 (0,1) 区间的取值,则整个实数范畴的值都是固定的,局部的扰动会导致全局的变化。我们还能够把滑腻流形看做是介于两者之间的形体:其无限小的布局是“硬”的,而全体布局则是“柔嫩”的。这也许是中文译形的缘由(全体的形态能够流动)。该译名由出名数学家和数学教育学家江泽涵引入。如许,流形的硬度使它可以或许容纳微分布局,而它的软度使得它能够做为良多需要的局部扰动的数学和物理的模子。流形能够视为近看起来象欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体。例如,人们已经认为地球是平展的,由于我们相对于地球很小,这是一个能够理解的。所以,一个抱负的数学上的球正在脚够小的区域也像一个平面,这使它成为一个流形。可是球和平面有很不不异的全体布局:若是你正在球面上沿一个固定标的目的走,你最终回到起点,而正在一个平面上,你能够一曲走下去。一个曲面是二维的。可是,流形能够有肆意维数。其他例子有:一根线的圈(一维的)以及三维空间中的所有扭转(三维的)。扭转所构成的空间的例子表白,流形能够是一个笼统空间。流形的手艺使得我们可以或许考虑这些对象。从某种意义上来说,我们能够有一个不依赖于任何其他空间的球。局部的简单性是一个很强的要求。例如,我们不克不及正在球上吊一个线,并把这个全体叫做一个流形;包含把线粘正在球上的那一点的区域都不是简单的——既不是线也不是面——无论这个区域有多小.我们用收集正在地图集中的平的地图正在地球上航行。雷同的,我们能够用正在数学图集中的数学地图(称为坐标图)来描述一个流形.凡是不成能用一张图来描述整个流形,这是由于流形和建制它的模子所用的简单空间正在全局布局上的差别。当利用多张图来笼盖流形的时候,我们必需留意它们堆叠的区域,由于这些堆叠包含了全体布局的消息。有良多分歧品种的流形。最简单的是拓扑流形,它们局部看来像欧几里得空间。其他的变种包含了它们正在利用中所需要的额外的布局。例如,一个微分流形不只支撑拓扑,并且要支撑微积分。黎曼流形的思惟导致了广义的数学根本,使得人们可以或许用曲率来描述时空。定义流形的数学定义能够表述为[1]:设M是豪斯多夫空间,若对肆意一点,则有x正在M中的一个邻域U同胚于m维欧几里得空间Rm的一个开集,称M是一个m维流形。引例:圆圈四张图别离把圆的一部门映照到一个开区间,它们合正在一路笼盖了整个圆。圆是除欧几里得空间外的拓扑流形的最简单的例子。让我们考虑,例如一个半径为1,圆心正在原点的圆。若x 和y是圆上的点的坐标,则我们有x2 + y2 = 1.局部看来,圆像一条线,而线是一维的。换句话说,我们只需一个坐标就能够正在局部描述一个圆。例如,圆的上半部,y-坐标正在那里是正的(左图中的部门)。阿谁部门任何一点都能够用x-坐标确定。所以,存正在双射 χtop,它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的部门映照到开区间(?1, 1):如许的一个函数称为图(chart)。雷同的,下半部(红),左半部(蓝),左半部(绿)也有图。合起来,这些部门笼盖了整个圆,我们称这四个图构成一个该圆的图集(atlas)。留意上部和左部的图的堆叠部门。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop和χright将这部门双射到区间(0, 1)。如许我们有个函数T 从(0, 1)到它本人,起首取图的逆达到圆上再通过绿图回到该区间:如许的函数称为变换映照(坐标变换).圆圈流形基于斜率的坐标图集,每个图笼盖除了一点之外的所有点。上,下,左,左的坐标图表白圆圈是一个流形,但它们不是独一可能的图集。坐标图不必是几何射影,而图的数量也能够有某种选择。考虑坐标图和这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的核心点(?1,0)的线的斜率; t是s的镜像对称,其核心点为(+1,0)。从s到(x,y)的逆映照为我们很容易确认x2+y2 = 1对于所有斜率值s成立。这两个图供给了圆圈的又一个图集,其变换函数为留意每个图都缺了一点,对于s是(?1,0),对于t是(+1,0),所以每个图不克不及独自笼盖整个圆圈。操纵拓扑学的东西,我们能够证明没有单个的图能够笼盖整个圆圈;正在这个简单的例子里,我们曾经需要用到流形能够具有多个坐标图的矫捷性。从代数曲线来的四个流形: ■ 圆圈, ■ 抛物线, ■ 双曲线, ■ 三次曲线.流形不必连通(整个只要一片);如许,一对分手的圆圈能够是一个拓扑流形。它们不必是闭的;所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必无限;如许抛物线也是一个拓扑流形。把这些选择加起来,两个体的的拓扑流形的例子有双曲线上的点的轨迹。可是,我们解除了向两个相切的圆(它们共享一点并构成8字形)的例子;正在切点我们无法建立一个对劲的到一维欧几里得空间的坐标图。(我们能够正在代数几何顶用另一种概念来看,正在那里我们考虑四次曲线) = 0上的复数点,其实数点形成一对正在原点相切的一对圆。从微积分的概念来看,圆的变换函数T只是开区间之间的函数,所以我们晓得它意味着T是可微的。现实上,T正在(0, 1)可微并且对于其他变换函数也是一样。所以,这个图集把圆圈变成可微流形。坐标图,图集和变换映照坐标图(chart)一个流形的一个坐标映照,坐标图,或简称图是一个正在流形的一个子集和一个简单空间之间的双射,使得该映照及其逆都连结所要的布局。对于拓扑流形,该简单空间是某个欧几里得空间Rn而我们感乐趣的是其拓扑布局。这个布局被同胚连结,也就是可逆的正在两个标的目的都持续的映照。图对于计较极其主要,由于它使得计较能够正在简单空间进行,再把成果传回流形。例如极坐标,是一个R2除了负x轴和原点之外的图。上节提到的映照χtop是圆圈的一个图图集大都流形的表述需要多于一个的图(只要最简单的流形只用一个图)。笼盖流形的一个特定的图的调集称为一个图集。图集不是独一的,由于所有流形能够被分歧的图的组合用良多体例笼盖。包含所有和给定图集相分歧的图的图集称为极大图集。不像通俗的图集,极大图集是独一的。虽然可能正在定义中有用,这个对象很是笼统,凡是不间接利用(例如,正在计较中)。变换映照图集中的图凡是会互相堆叠,而流形中的一个点可能会被好几个图所暗示。若是两个图堆叠,它们的部门会暗示流形的统一个区域。这些部门之间的联系关系代表流形上统一点的坐标点的映照,譬如圆圈例子中的映照T,称为坐标变换,变换函数,或者转换函数,转换映照。附加的布局图集也可用于定义流形上的附加布局。布局起首正在每个图上别离定义。若是所有变换映照和这个布局相容,该布局就能够转到流形上。这是微分流形的尺度定义体例。若是图集的变换映照对于一个拓扑流形连结Rn天然的微分布局(也就是说,若是它们是微分同胚),该微分布局就传到了流形上并把它变成微分流形。凡是,流形的布局依赖于图集,但有时分歧的图集给出不异的布局。如许的图集称为相容的。构制一个流形能够以分歧体例构制,每个体例强调了流形的一个方面,因此导致了分歧的概念。图集该坐标图把球面有正z坐标的部门映照到一个圆盘。可能最简单的构制一个流形的方式是正在的例子中的圆圈的构制方式。起首,确认R2的一个子集,然后笼盖这个本人的图册被构制出来。流形的概念汗青上就是从如许的构制成长出来的。这里有另一个例子,把这个方式使用正在球面的构制上:带图册的球面球面的概况能够几乎和圆圈一样的方式来处置。我们把球面视做R3的子集:球面是二维的,所以每个坐标图将映照球面的一部门到一个R2的开子集。例如考虑北半球,它是带正z坐标的部门。(正在左图中它着红色)定义如下的函数χχ(x,y,z) = (x,y),把北半球映照到开单元圆盘,通过把它投影到(x, y)平面。雷同的坐标图对南半球也存正在。和投影到(x, z)平面的两个坐标图以及投影到(y, z)平面的两个坐标图一路,我们获得了一个笼盖整个球面的含6个坐标图的图册。这能够很容易地扩展到高维的球面。贴补流形能够通过把碎片以一种相容的体例粘合来构制,使得碎片成为互相笼盖的坐标图。这种构制对于任何流形都是可行的,所以经常做为流形的表述,出格是微分和黎曼流形。它集中于图册的构制,把流形做为坐标图所天然的供给的贴片,由于不涉及外部的空间,这导致了流形的内正在的概念。这里,流形通过给定图册来构制,图册通过定义转换映照来获得。流形的一个点因此是指通过变换映照映到统一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映照到一个贴片上的点。凡是会对变换映照有很强的分歧性要求。对于拓扑流形,它们被要求为同胚;若是它们也是微分同胚,最初获得的流形就是微分流形。这能够通过变换映照圆圈例子的第二部门中的t = 1?s来注释。从曲线的两个拷贝起头。第一个拷贝用坐标s,第二个拷贝用t。现正在,通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点1?s做为统一个点来粘合起来(点t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。内正在和外正在的概念第一种构制和这种构制很是类似,可是他们代表了相当分歧的概念。正在第一种构制中,流形被视为嵌入到某个欧几里得空间中。这是外正在的概念。当一个流形用这种体例来看的时候,它很容易通过曲觉从欧几里得空间得倒附加的布局。例如,正在欧几里得空间,很较着某个点的一个向量能否和穿过该点的曲面 相切或者垂曲。贴补构制不消任何嵌入,只是简单把流形看做拓扑空间本身。这个笼统的概念称为内正在的概念。这使得什么是切向量更不可思议。可是它表达了流形的素质,正在计较上来讲,这使我们避免了利用更高的维数,例如我们只需二维而不是三维就能够做球面上的计较。] 做为贴补的n维球面n维球面Sn能够通过粘合Rn的两个拷贝来构制。他们之间的变换函数定义为这个函数是它本身的逆,因此能够正在两个标的目的利用。由于变换映照是一个滑腻函数,这个图册定义了一个滑腻流形。若是我们取n = 1,我们就得倒了圆圈的例子。函数的零点良多流形能够定义为某个函数的零点集。这个构制天然的把流形嵌入一个欧几里得空间,因此导向一个外正在的概念。这很抽象,但倒霉的是不是每个流形都能够如许暗示。若是一个可微函数的雅可比矩阵正在函数为0的每一点是满秩的,则按照现函数,每个如许的点四周存正在一个为0的范畴微分同胚于一个欧几里得空间。因而零点集是一个流形。做为一个函数零点的n维球面n维球面Sn经常定义为这等价为如下函数的零点这个函数的雅可比矩阵是,它的秩对于除了原点的所有点为1(对于1×n矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。认统一个流形上的分歧点能够把流形上的分歧点定义为不异。这能够视为把分歧的点粘合为统一个点。成果经常不是流形,但正在有些环境下是流形。这些环境下,认同过程是用群来完成的,这是感化正在流形上的群。两个点被视为统一个若是一个能被该群的一个元素挪动到另一个。若是M是该流形而G是该群,成果空间称为商空间,并记为M/G。能够通过认同点来构制的流形包罗环面和实射影空间(别离从一个平面和一个球面起头)。曲积流形的曲积也是流形。但不是每个流形都是一个积。积流形的维数是其因子的维数之和。其拓扑是乘积拓扑,而坐标图的曲积是积流形的坐标图。如许,积流形的图册能够用其因子的图册构制。若是这些图册定义了因子上的微分布局,响应的积图册定义了积流形上的一个微分布局。因子上定义的其他布局也能够同样处置。若是一个因子有一个鸿沟,积流形也有鸿沟。曲积能够用来构制环面和无限圆柱面,例如,别离定义它们为S1 × S1和S1 × [0, 1]。无限圆柱面是带鸿沟的流形。沿鸿沟粘合两个带鸿沟的流形能够沿着鸿沟粘合。若是用准确的体例完成,成果也是流形。雷同的,一个流形的两个鸿沟也能够粘合起来。形式化的,粘合能够定义为两个鸿沟的一个双射。两个点被认同为一个,若是它们互相映照到对方。对于一个拓扑流形,这个双射必需是同胚,不然成果就不是拓扑流形。雷同的,对于一个微分流形,它必需是微分同胚。对于其它流形,其他的布局必需被这个双射所连结。无限的圆柱面能够做为一个流形构制,先从一个长条R × [0, 1]起头,然后把对边通过恰当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶能够一个带孔的球面和一个莫比乌斯带沿着各自的圆形鸿沟粘合起来得倒。拓扑流形该从题的更多细节,请参看拓扑流形.最容易定义的流形是拓扑流形,它局部看起来象一些通俗的欧几里得空间Rn。形式化地讲,一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧几里得空间的拓扑空间。这暗示每个点有一个范畴,它有一个同胚(持续双射其逆也持续)将它映照到Rn。这些同胚是流形的坐标图。凡是附加的手艺性假设被加正在该拓扑空间上,以解除病态的景象。能够按照需要要求空间是豪斯多夫的而且第二可数。这暗示下面所述的有两个原点的曲线不是拓扑流形,由于它不是豪斯朵夫的。流形正在某一点的维数就是该点映照到的欧几里得空间图的维数(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有不异的维数。有些做者要求拓扑流形的所有的图映照到统一欧几里得空间。这种环境下,拓扑空间有一个拓扑不变量,也就是它的维数。其他做者答应拓扑流形的不交并有分歧的维数。微分流形该从题的更多细节,请参看微分流形.很容易定义拓扑流形,可是很难正在它们工做。对于大都使用,拓扑流形的一种,微分流形比力好用。若是流形上的局部坐标图以某种形式相容,就能够正在该流形上会商标的目的,切空间,和可微函数。出格是,能够正在微分流形上使用微积分。可定向性考虑一个拓扑流形,其坐标图映照到Rn。给定一个Rn的有序基,坐标图就给它所笼盖的流形的一片引入了一个标的目的,我们能够视为或者左手或者左手的。堆叠的坐标图不要求正在标的目的上分歧,这给了流形一个主要的度。对于某些流形,譬如球面,我们能够拔取一些坐标图使得堆叠区域正在手性上分歧;这些流形称为可定向的。对于其它的流形,这不成能做到。后面这种可能性容易被轻忽,由于任何正在三维空间中(不自交的)嵌入的闭曲面都是可定向的。我们考虑三个例子: (1)莫比乌斯带,它是有鸿沟的流形,(2)克莱因瓶,它正在三维空间必需自交,以及(3)实射影平面,它很天然的呈现正在几何学中。莫比乌斯带莫比乌斯带从一个竖着的无限圆柱面起头,博牛注册,这是一个界的流形。正在高和低的处所各剪一刀,发生两个圆形鸿沟,和它们之间的一个圆形的带子。这是一个带鸿沟的可定向流形,我们正在它动一个小手术。把带子剪开,使得它能展开成一个矩形,但把两端捏住。把此中一头转180°,把内面翻倒朝外,然后把两端无缝的粘回来。现正在我们有了一个永世半翻转的带子,就是莫比乌斯带。它的鸿沟不再是一对圆圈,而是(拓扑上)单个圆圈;已经是内面的现正在和外面并了起来,使得它只要单面。(正在打印机的色带中有这种左扭带的使用。)克莱因瓶浸入到三维空间的克莱因瓶。取两个莫比乌斯带;每个都以一个圈为鸿沟。把每个圈拉成一个圆圈,并把带子变成交叉帽(cross-cap)。(留意这正在三维空间物理上是不成能的;克莱因瓶不克不及放到三维空间中,就像莫比乌斯带(或者球面)不克不及放正在平面上一样。现实建制一个克莱因瓶必需正在至多四维的空间进行)把圆圈粘合起来会发生一个新的闭合流形,没有鸿沟的克莱因瓶。把曲面闭合起来并不克不及改变不成定向性,它只是移除了鸿沟。如许克莱因瓶就成了一个不克不及分辩表里的闭合曲面。实射影平面从圆心为原点的球面起头。穿过原点的每条曲线正在两个相对的点穿透球面。虽然我们不克不及物理上这么做,我们正在数学上能够把相对点归并为统一点。如许发生的闭合曲面是实射影平面,又一个不成定向曲面。它有一些等价 的表述和构制,可是这个方式了它的名字:所有给定的穿过原点的曲线射影到该平面的一个点。豪斯多夫假设两个原点的线我们正在这里给出一个空间的例子,它满脚拓扑流形所有的前提,除了它不是豪斯多夫空间(Hausdorff space)。取两个R的拷贝,把它们写做and ,并定义如劣等价关系(x,0)~(x,1) if .从这个等价关系获得的商空间L是一个象实曲线那样的空间,除了有两个点占领了原点。出格的是,它们不克不及被不交的开集所分手,所以L不是豪斯朵夫的。它是一个拓扑流形,但不是豪斯多夫拓扑流形。经常,拓扑流形被定义为必需是豪斯多夫的,正在这个定义下,的例子不是流形。流形的其他类型和推广要正在流形上研究几何,凡是必需用附加的布局来粉饰这些空间,例如的微分流形所插手的微分布局。按照所需要的分歧的几何,有很多其它的可能性:复流形: 复流形是建模正在Cn上的流形,正在坐标图的堆叠处以全纯函数为变换函数。这些流形是复几何研究的根基对象。一个一维复流形称为黎曼曲面。巴拿赫和Fréchet流形:要答应无限维,能够考虑巴拿赫流形,它局部同胚于巴拿赫空间。雷同的,Fréchet流形局部同胚于Fréchet space。轨形(Orbifolds):一个轨形是流形的推广,答应某种奇异点正在其拓扑中存正在。大致来讲,它是局部看起来像一些简单空间(例如,欧几里得空间)通过各类无限群的群感化的商。奇点对应于群感化的不动点,而感化必需正在某种意义下相容。代数簇和概形(Algebraic varieties and schemes):一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来获得的,仿射代数簇是正在代数封锁的域上多项式的零点集。雷同的,概形是仿射概形粘起来获得的,而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关,但都利用层而非坐标图集来构制。汗青第一个清晰地把曲线和曲面本身构思为空间的可能是高斯,他以他的“绝妙”(Theoremaegregium)成立了内正在的微分几何。黎曼是第一个普遍的展开实正需要把流形推广到高维的工做的人。流形的名字来自黎曼本来的德语术语Mannigltigkeit,William Kingdon Clifford把它翻译为manifoldness(多层)。正在他的哥廷根就职中,黎曼表白一个属性能够取的所有值构成一个Mannigltigkeit。他按照值的变化持续取否对stetigeMannigltigkeit和离散 [sic] Mannigltigkeit(持续流形 和不持续流形)做了区分。做为stetigeMannigltikeiten的例子,他提到了物体颜色和正在空间中的,以及一个空间形体的可能外形。他把一个n chausgedehnteMannigltigkeit(n次扩展的或n-维流形)构制为一个持续的(n-1)chausgedehnteMannigltigkeiten堆。黎曼曲觉上的Mannigltigkeit概念成长为今天形式化的流形。黎曼流形和黎曼曲面就是以他的名字定名的。互换簇的概念正在黎曼的时代曾经被现含地做为复流形利用。从几何方面考虑,拉格朗日力学和哈密尔顿力学的素质也是流形理论。庞加莱研究了三维流形,并提出出名的庞加莱猜想:所有闭简单连通的三维流形同胚于3维球吗?这个猜想已被Grigori Perelman处理。赫尔曼·外尔于1912年给出了微分流形的一个内正在的定义。1930年代,该课题根本性方面的工做被Hassler Whitney等人厘清,使得从19世纪下半叶起起头成长起来的相关的曲觉学问变得更切确,并通过微分几何和李群使微分流形的理论获得进一步的成长。

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