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1.2 33 22 11 乞降标号已不是用以区分该标号所暗示

发布时间:2019-11-10 关注次数:

  1.11.2 1.3 1.4 ij 1.5 07:411.7 1.8 1.91.10 07:411.1 为了书写简练,便于采用乞降商定,正在张量记法中均采用字母标号,即将某一物理量的所有分量 用统一个字母暗示,并用标号(目标)区别此中的 各个分量。例如 暗示;位移u ;应力ij ;应变 ij 正在统一项中,反复呈现两次的字母标号,称为乞降标号,它暗示将该标号顺次取为1,2,3时所得的 各项之和,这就是乞降商定。例如 乞降标号又称“哑标”或“伪标”。 1.2 33 22 11 乞降标号已不是用以区分该标号所暗示的各个分量,而是一种商定的乞降标记,因而可选用任何 字母而不会改变其寄义;亦即乞降标号可肆意变 换字母,如 dxdx 3322 11 (乞降商定) 此中 (不乞降) 3322 11 别的应写成 能写做,由于后者的标号反复了4次。 jjii iiii ij表任一个应力分量。 统一方程中,各项标号应不异,并且应理解(商定)为该方程对标号的商定域均成立。如 为下列方程的缩写1.3 1007:41 统一方程中,澳门皇冠手机版。不克不及肆意改变此中一项或部门项的标号;如有需要,须将各项的标号同时 改变。 3332 31 2322 21 1312 11 1107:41 克罗内克尔代尔塔(Kronecker)。它取另一个带 字母的量(包罗本身)相乘时,将该量中的乞降标 号丢掉而用 ij 中的另一标号代入。因而 1.4 ij 12 07:41 imkm jk ij ik jk ij jj ii ij ij iiij ij ijij ikjk ij (c)式可用于改变标号的字母,如13 07:41 由于a ii 有如下关系上式亦可做为 ij 的定义。 jk jk ii 1407:41 为笛卡尔坐标系的基矢,为该坐标系动弹后 1507:41 1.5 ijk有27个量,此中6个不为零。其标号中,每相 邻两个交换一次,改变一次正负号。变 换偶次,不改变它的正负号;标号变换奇次, 它将改变正负号。如 k有反复标号时(非轮回)16 07:41 按照 叉积的定义,有 kji jki jki jik ijk 1707:41 上式亦可做为eijk 的定义。 jik ijk 1807:41 ij恒等式 按照行列式的运算,可得 留意,第一式中行序号为顺轮回,第二式中 列序号为顺轮回。因而当原行列式中的行或列任 意互换时,所得新行列式值为 ijk (按行展开,共六项)ijk 1907:41 ijktk sj ri rst irrst 2007:41 上式行列式中,列序号为顺轮回;若将此中的列 肆意变换,所获得的新行列式为 rst ijk rst kt ks kr jt js jr 由此可得eijk ij的关系为 jtkr ksjr ks jt kt js ir rst ijk 2107:41 当i=r时,获得 由上式又可得 ks jt kt js ist ijk ktijt ijk ijkijk 2207:41 ijktk sj ri rst irrst ijkijk rstijk 2307:41 1.6 ABij AB ij 间的夹角。表为“定义为”;共九个分量。于是有 AB ij ABij BAji AB ij BAij ABij 2407:41 若将 排成矩阵 ,称为余弦变换矩阵; 而据上式应有 AB ij BAij AB ij 由于,则有(板书演示) ij ijBA kj AB ik ABij BAij AB ij BAij AB ij 按照,可见 25 07:41 余弦变换矩阵为正交矩阵。故这种余弦变换又称 正交变换。又 ABij ABij ABij ABij AB ij ABij 2607:41 ABij ABij 2707:41 1.7 标为固定坐标系时,是不因x 2807:41 可将上式做为坐标系基矢的定义。基矢乃是取坐 标线相切并指向坐标线正向的矢量。 明显,笛卡尔坐标系的基矢为没有量纲的单元矢 2907:41 于是,曲线坐标的基矢为不必然是单元矢量,同时因 的量纲不必然是长度,因而, 不必然是纲量。 3007:41 表它即不是和i反复(乞降标号),也不是存正在(标号),而是同i一道变 化的可称侍从标号。于是 3107:41 称为正则化的基矢(当前简称基矢或物理标架)。 对于正交曲线坐标,它也是正交单元矢量,故有 3207:41 ABij ABij 笛卡尔坐标系基矢的变换已知 其矩阵形式为 称为余弦变换矩阵。求上式的逆,得 ABij BAij ABij ABij BAij 3307:41 以上各式称为一阶基矢 之间的一阶余弦变换,简记为 3407:41 例,笛卡尔坐标系A和B,由图可见 3507:41 BAij BAij 为非一般正交矩阵。36 07:41 b.正交曲线坐标系取笛卡尔坐标系基矢的变换 DCji CD ij CD ij CDij CDij 3707:41 角标C——曲线坐标,D——笛卡尔坐标。因 CDij CD ij DC ij CD ij jk CD ik CD ij CDij 3807:41 例,圆柱坐标系如图示,同时标出笛卡尔坐标系。 此处 3907:41 由图可见 4007:41 cossi cossi 4107:41 于是 CDij 42 07:41 一阶基矢的性质: 线性。设 取标量之积从命互换定律。设k为标量,则从命一阶余弦变换 4307:41 设有一系列分歧的坐标系,其基矢别离为等,此中可包罗正交曲线坐标系的基矢。 于是 CDkm BC jk AB ij BCjk AB ij ABij ADim CDkm BC jk AB ij AD im CDij BC ij AB ij AD im 4407:41 例,A为笛卡尔坐标系,B为圆柱坐标系,C为球坐 4507:41 由图可见 coscos coscos CBij 4607:41 cossi BAij cossi coscos cos cos si cossi BAij CB ij CA ij CD ij 4707:41 1.8 则有48 07:41 ABik ABij 构成的线性组合不因坐标系而变化,称为一阶张量或矢量。凡不依赖于坐标系的量或一 些量的组合,称为不变量。标量也是不变量。因 为它不取任何基矢线性组合,故称零阶张量。 4907:41 则可证 明显,以上陈述的逆陈述也成立,即若(不变量),则其分量 必满脚一阶余弦变换纪律,即 5007:41 1.9 ABjl AB ik ABjl ABik CDjl CD ik 5107:41 上列关系称为二阶余弦变换,简记为 CDij CDij ABij ABij ABij DCij CDij CDij ABij ABij 5207:41 二阶基矢有下列性质:线性无关。设 标量乘子的可互换性。设k为标量,则有 5307:41 1.10 5407:41 klln im BAjn BA im klBA jl BA ik 5507:41 ABkt AB js AB ir 更高阶的基矢、更高阶的张量及变换纪律有雷同的环境。例如三阶基矢定义为 ,它从命三 阶余弦变换纪律 简记为 5607:41 则可证上述结论亦合用于正交曲线坐标系。常用的是二 阶张量。易证, 别离为二阶张量和三阶张量,称为单元张量和置换张量,别离记 5707:41 1.11 张量是取坐标系选择无关的不变量,能够于坐标系来表述,该记法称为间接记法。 现实计较中,张量要取必然的坐标系相干系,并用该坐标系的分量来暗示,称为分量记法。 可将张量的分量做为矩阵的元素,用矩阵暗示张量,称为矩阵记法。 58 07:41 例如间接记法 分量记法 矩阵记法 标量 (零次张量) 矢量 (一阶张量) 张量 (二阶张量) 5907:41 ij称为张量 ii)。当张量正在任何方 向上均有B ii 0时,称为正定张量,B ii 0时,称为 半正定张量。可证,设 6007:41 留意张量不克不及取它的分量记法、矩阵记法混同,前 者取坐标系无关,后两者则只是给定坐标系内 张量的一种表达;坐标系改变,其分量及矩阵 响应地变化。 张量可用矩阵暗示(取给定坐标系相干系),但 矩阵却不必然是张量正在相关坐标系内的表达。 统一张量可因坐标系分歧而有分歧的分量暗示。 61 07:41 会商张量正在两个坐标系的表述时,可将张量及其及分量加以角标以示区别,如 6207:41 2.1张量的升阶和降阶 2.2 张量的代数运算 2.3 几种特殊张量 2.4 张量的分化 2.5 张量的从标的目的 2.6 张量的不变量 2.7 凯莱-哈密尔顿 2.8 张量函数 63 07:41 2.1 2.1.1 2.1.2 64 07:41 2.1.1 6507:41 jk,则当坐标系变换时,有 jk是三阶张量的分量。因而, 两张量的外积 为更高阶的张量,其阶数等于并乘各张量阶数之 和;称为张量的升阶。 rstBA kt BA js BA ir stBA kt BA js BAir 6607:41 操纵已知外积升阶后的三阶张量分量表达式,令i=j,则有 ij BAkt rstrs BA kt stBA kt BA BAir 2.1.267 07:41 矢量取二阶张量的内积为一阶张量,即两张量的 内积将获得更低阶的张量,其阶数等于内积各张 量阶数之和减2。现实上,正在张量(阶数2)的分 量中,令此中任两个脚标字母不异,就获得低二 阶的张量。这称为张量的降阶。 BAkt rstrs BA kt stBA kt BA BAir 6807:41 klij (升阶)令i,j,k,l中的肆意两个标号不异,将获得下列 诸二阶张量(证略): ijilijil iikl 6907:41 7007:41 三点留意:已知张量的内积为张量,即设 为肆意阶张量,则其内积为 7107:41 矢量取二阶张量的内积为一阶张量(矢量),因 此,能够将二阶张量看做一种变换因子,它可 将一个矢量变换为另一个矢量。一般地两个矢 量的标的目的和大小均分歧。特殊环境下,两个矢 量的大小不异(刚性变换)或标的目的平行(二阶张量 的从标的目的)。 72 07:41 从张量 jkij 上式取矩阵乘法不异的矩阵= 张量的矩阵之积。于是能够用矩阵的代数运算定义张量的运算(这里仅限于二阶张量 取及矢量)。 jkij ik 7307:41 2.2.1 2.2.2 2.2.42.2.5 2.2.62.2.7 2.2 74 07:41 2.2.1 ikjk ij jk ij kj ik ij kj ik kj ik ij 7507:41 正在使用矩阵运算求张量的内积时,若是内乘 张量包含有矢量,则应留意以下法则,以合适矩 阵的运算。 7607:41 ijij ijij jiji ijij ij 7707:41 ikki jk kjik ij ijij 7807:41 ijji ji ij ii ii ijki jk ki jk ij 7907:41 jiij 8007:41 jiij jiij ij ij ij 8107:41 ikjk ij jkij jkij kikj ij kikj ik jiij kj ik kj ik ij 8207:41 ijij ii ij ij 8307:41 jiij ij 8407:41 ijij ij ij 8507:41 kt js ir rst ijk ij )(det(det det(det det(det det 2.2.686 07:41 当前将证明,I 的三个不变量,有时记为I iidet 8707:41 ijkj ik 2.2.788 07:41 8907:41 上式中,令 再取行列式公式中最初 的公式比力,可得 trdet 9007:41 此处 的三个不变量。由上式还可求出 trdet 9107:41 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3 92 07:41 2.3.1 对称张量93 07:41 (用到 给出的恒为否决称张量。由上式可得 互为对偶否决称张量的三个不为零的分量形成一个矢量;该矢量称为否决称 张量的轴矢量。 9407:41 9507:41 9607:41 球张量任一标量取单元张量相乘所得的张量,记为 2.3.297 07:41 设矢量经二阶张量 变换后,所得矢量的模不 为正交张量。若设则有 因上式对任何均成立,因而必有 2.3.398 07:41 9907:41 时,称为一般正交张量或完全正交张量;时,称为非一般正交张量。 因正交张量不改变矢量的模,故属刚性变换。正在三维空间内,完全正交张量对应于线段(矢量) 的扭转,故又称为动弹张量;非一般正交张量则 相当于镜射,故称为反射张量或翻转张量。 10007:41 互为类似张量或正交类似张量。它们之间满脚下列前提 2.3.4101 07:41 现实上是肆意矢量,故有 10207:41 类似张量的几何意义(略)肆意张量正交变换所得的映象,取该第量互为正 交类似张量。 刚性(正交)变换不改变张量的模(范数),或者说,两类似张量的模相等。 103 07:41 正在此弥补申明它的若干性质。正在二维空间内,置换张量只要二个可变脚标, 可记为 二维空间这是一个否决称张量。而肆意否决称张量 (为某一标量)2.3.5 104 07:41 展开 10507:41 对一肆意,则由下式给出的张量均为否决称张 对偶。其它公式见2.3.1中相关对偶的公式。此中出格地, 时,则有 10607:41 10707:41 是各向同性张量, 也是各向同性张量。 分量不因坐标系的改变而变化的张量。是各向同性二阶张量, 亦是各向同性二阶 张量。(证略) 三阶各向同性张量2.3.6 10807:41 的下列组合,形成三个线性无关的四阶各向同性张量。 最一般的四阶各向同性张量为 ij jkil jlik klij jkil jl ik kl ij